Question

12．已知直線l過點（0，-1）且被兩條平行直線l₁：2x+y-6=0和l₂：4x+2y-5=0截得的線段長為$\frac{7}{2}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 利用點到直線的距離公式可得l₁與l₂之間的距離d，設(shè)直線l與兩平行直線的夾角為α，則sin$α=\fracga7hpw7{\frac{7}{2}}$．對直線l的斜率分類討論即可得出．

解答 解：l₁與l₂之間的距離$d=\frac{{|-6+\frac{5}{2}|}}{{\sqrt{{2^2}+1}}}=\frac{7}{{2\sqrt{5}}}$，
設(shè)直線l與兩平行直線的夾角為α，
則$sinα=\frac2n1u8rz{{\frac{7}{2}}}=\frac{{\frac{7}{{2\sqrt{5}}}}}{{\frac{7}{2}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，∴$cosα=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$．
①當直線l斜率存在時，設(shè)l：y+1=kx，即l：kx-y-1=0，
則：$cosα=\frac{|2k-1|}{{\sqrt{5}\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}⇒k=-\frac{3}{4}$．
即直線l的方程為：3x+4y+4=0．
②當直線l斜率不存在時，l：x=0，$cosα=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$符合．
所以直線l的方程為：3x+4y+4=0或x=0．

點評 本題考查了平行線之間的距離公式、分類討論方法、直線方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．