Question

2．已知過(guò)點(diǎn)P（a，0）的直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|=6$且$|{\overrightarrow{AB}}|=4$？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）利用參數(shù)的幾何意義，建立方程，即可求出實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（Ⅰ）消t得$x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2y+a$，∴直線l的普通方程為$x-\sqrt{3}y-a=0$…（2分）
由ρ=4cosθ，∴ρ²=4ρcosθ，∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4x=0…（4分）
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|=6$且$|{\overrightarrow{AB}}|=4$成立，將$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²-4x=0中，
則${（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}）^2}+\frac{1}{4}{t^2}-4（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+a}）=0$，
∴${t^2}+（\sqrt{3}a-2\sqrt{3}）t+{a^2}-4a=0$
由△＞0⇒-2＜a＜6…（6分）
由$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|=6$$⇒{\overrightarrow{PA}^2}+2\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+{\overrightarrow{PB}^2}=36$①
$|{\overrightarrow{AB}}|=|{\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}}|=4⇒{\overrightarrow{PB}^2}-2\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PA}+{\overrightarrow{PA}^2}=16$②…（8分）
①-②：$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=5$，即$|{\overrightarrow{PA}}|•|{\overrightarrow{PB}}|=±5$，
∴$|{PA}|•|{PB}|=|{{t_1}•{t_2}}|=|{{a^2}-4a}|=5⇒{a^2}-4a=5$或a²-4a=-5（舍）
∴a=-1或5．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，同時(shí)考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．