Question

17．已知|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow$|=4，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$$-\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow{c}$|的取值范圍是[0，5]．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可得到$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，然后作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，從而得出點O，C都在以AB為直徑的圓上，可求出圓的直徑的長度，從而結(jié)合圖形即可求出$|\overrightarrow{c}|$的取值范圍．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）=0$；
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow-\overrightarrow{c}$，如圖所示，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，則：

O，C點都在以AB為直徑的圓D上；
圓D的直徑為5；
∴$|\overrightarrow{OC}|∈[0，5]$；
即$|\overrightarrow{c}|$的取值范圍是[0，5]．
故答案為：[0，5]．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量的幾何意義，直徑所對的圓周角為直角，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．