Question

2．已知圓C：（x-2）²+（y-3）²=16及直線l：（m+2）x+（3m+1）y=15m+10（m∈R）．
（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交；
（2）當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最短時(shí)，求此時(shí)直線l方程．

Answer 1

分析 （1）利用直線系求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，推出結(jié)果即可．
（2）利用圓的半徑弦心距與半弦長(zhǎng)的關(guān)系判斷所求直線的位置，求出斜率，即可得到直線方程．

解答 解：（1）證明：直線l可化為2x+y-10+m（x+3y-15）=0，
即不論m取什么實(shí)數(shù)，它恒過(guò)兩直線2x+y-10=0與x+3y-15=0的交點(diǎn)．兩方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)為（3，4）．
又有（3-2）²+（4-3）²=2＜16，
∴點(diǎn)（3，4）在圓內(nèi)部，
∴不論m為何實(shí)數(shù)，直線l與圓恒相交．…（6分）
（2）解：從（1）的結(jié)論和直線l過(guò)定點(diǎn)M（3，4）且與過(guò)此點(diǎn)的圓C的半徑垂直時(shí)，l被圓所截的弦長(zhǎng)|AB|最短，…（8分）
此時(shí)，k_l=-$\frac{1}{kCM}$，從而k_l=-$\frac{1}{\frac{4-3}{3-2}}$=-1，…（10分）
∴l(xiāng)的方程為y-4=-（x-3），即x+y=7．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．