Question

2．已知命題p：函數(shù)f（x）=x²+2ax+2a的值域為[0，+∞），
命題q：方程（ax-1）（ax+2）=0在[-1，1]上有解，
若命題“p或q”是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 當(dāng)p為真時，函數(shù)f（x）=x²+2ax+2a=（x+a）²-a²+2a的值域為[0，+∞），可得-a²+2a=0，解得a．當(dāng)q為真時，（i）當(dāng)a=0時，不符合條件；（ii）當(dāng)a≠0時，有x=$\frac{1}{a}$或x=-$\frac{2}{a}$．由題意可得：$-1≤\frac{1}{a}≤1$或-1$≤-\frac{2}{a}$≤1．解得a范圍，“p或q”假，即p假且q假，即可得出．

解答 解：當(dāng)p為真時，函數(shù)f（x）=x²+2ax+2a=（x+a）²-a²+2a的值域為[0，+∞），
∴-a²+2a=0，解得a=0或a=2．
當(dāng)q為真時，（i）當(dāng)a=0時，不符合條件；（ii）當(dāng)a≠0時，有x=$\frac{1}{a}$或x=-$\frac{2}{a}$．
∴$-1≤\frac{1}{a}≤1$或-1$≤-\frac{2}{a}$≤1，
解得a≥1或a≤-1，a≥2或a≤-2，即a≥1或a≤-1．
“p或q”假，即p假且q假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜1}\\{a≠0，且a≠2}\end{array}\right.$，解得-1＜a＜1且a≠0．
∴a的取值范圍為{a|-1＜a＜1且a≠0}．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、不等式與方程的解法、簡易邏輯的判斷方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．