Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)用表示中的最大值，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，.

(2)

【解析】

(1)先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再討論時(shí), 時(shí),函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)分別討論函數(shù)在當(dāng)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得解.

解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且.

當(dāng)時(shí),對恒成立,所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),令,得,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，.

(2)①當(dāng)時(shí), ,從而,所以在上無零點(diǎn)，

②當(dāng)時(shí), ,

若,所以是的零點(diǎn);

若,所以不是的零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí), ,所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)只需要考慮在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)在上實(shí)根的個(gè)數(shù)在上實(shí)根的個(gè)數(shù).

令函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；又，，，

當(dāng)或時(shí)，在上無零點(diǎn);當(dāng)或時(shí), 在上有唯一零點(diǎn)， 時(shí), 在上有兩個(gè)零點(diǎn)，

綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上有無零點(diǎn), 當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn), 當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn), 當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn),

則在上有唯一零點(diǎn), 的取值范圍為.