Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²，其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定導(dǎo)數(shù)為0方程解的個(gè)數(shù)，即可討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）由（1）可知①當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合；②當(dāng)a＜0時(shí)，要使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則須且只需f_max（x）＞0，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）定義域：（0，+∞）…（1分）$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax$…（2分）
①當(dāng)a≥0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以f'（x）＞0在定義域內(nèi)恒成立，∴f（x）無極值點(diǎn)．…（3分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，$f'（x）=\frac{1}{x}+2ax=\frac{{2a{x^2}+1}}{x}$，
令f'（x）=0，則$x=\sqrt{-\frac{1}{2a}}$或$x=-\sqrt{-\frac{1}{2a}}$（舍去）…（4分）
可知f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)．即極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．…（5分）
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）無極值點(diǎn)，當(dāng)a＜0時(shí)，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)．…（6分）
（2）由（1）可知①當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）為增函數(shù)，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合．…（7分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，${f_{max}}（x）=f（\sqrt{-\frac{1}{2a}}）=-\frac{1}{2}ln（-2a）-\frac{1}{2}$，…（8分）
當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→-∞；當(dāng)x→0⁺時(shí)，f（x）→-∞，…（9分）
要使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則須且只需f_max（x）＞0，…（10分）
即$-\frac{1}{2}ln（-2a）-\frac{1}{2}＞0$解得$a＞-\frac{1}{2e}$，…（11分）
又a＜0，所以$-\frac{1}{2e}＜a＜0$
綜上：a的取值范圍是$（-\frac{1}{2e}，0）$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．