Question

已知函數f（x）=|x-2|，g（x）=-|x-3|+m．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞x+1；
（Ⅱ）若y=f（x）與y=g（x）圖象上有公共點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數的圖象

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）運用絕對值的定義，可得

x-2≥0 x-2＞x+1

或

x-2＜0 2-x＞x+1

，分別解出它們，再求并集即可；
（Ⅱ）y=f（x）與y=g（x）圖象上有公共點，即方程f（x）=g（x）有解．即m=|x-2|+|x-3|有解，運用去絕對值的方法求出右邊的值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）＞x+1即為|x-2|＞x+1，
即有

x-2≥0 x-2＞x+1

或

x-2＜0 2-x＞x+1

，即x∈∅或x＜

1

2

，
故不等式的解集為（-∞，

1

2

）；
（Ⅱ）y=f（x）與y=g（x）圖象上有公共點，即方程f（x）=g（x）有解．
f（x）=g（x）即|x-2|=-|x-3|+m．即有m=|x-2|+|x-3|，
由于y=|x-2|+|x-3|=

5-2x(x＜2) 1(2≤x≤3) 2x-5(x＞3)

，則函數y的值域為[1，+∞）．
則m≥1．
故實數m的取值范圍是[1，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查兩函數的圖象有交點轉化為方程有解，考查分離參數法，求含絕對值的函數的值域的方法，屬于中檔題．