Question

14．雙曲線C的左，右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），拋物線y²=4x與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)為P，若（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$+$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，則C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． 1+$\sqrt{3}$
• D． 2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，運(yùn)用向量的平方即為模的平方，可得|PF₂|=2，由拋物線的定義，可得P的橫坐標(biāo)，可得P的坐標(biāo)，運(yùn)用雙曲線的定義和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為（1，0），準(zhǔn)線為x=-1，
設(shè)P（m，n），
若（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$+$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）•（$\overrightarrow{{F}_{2}P}$-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$）=0，
則$\overrightarrow{{F}_{2}P}$²-$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$²=0，
由F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），可得|F₁F₂|=2，
即有|PF₂|=2，
由拋物線的定義可得x_P+1=2，即有x_P=1，
可得P（1，±2），
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+{2}^{2}}$-$\sqrt{{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$-2，
可得雙曲線的a=$\sqrt{2}$-1，c=1，
可得e=$\frac{c}{a}$=1+$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，以及向量的平方即為模的平方，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．