Question

3．在圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角，有同學(xué)類(lèi)比圓研究橢圓，把經(jīng)過(guò)橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑．已知橢圓
C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，AB是橢圓C的直徑．
（I ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）該同學(xué)用幾何畫(huà)板在橢圓C上取了幾個(gè)點(diǎn)．通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)毎一個(gè)點(diǎn)與A，B連線(xiàn)的斜率之積不變．耶么對(duì)于橢圓上任意一點(diǎn)M（M不與A，B重合），直線(xiàn)MA，MB的斜率之積是否為定值．若是．寫(xiě)出定值并證明你的結(jié)論；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．
（III）O是坐標(biāo)原點(diǎn)，M是橢圓上的一點(diǎn)且在第一象限．M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′，E是x軸一點(diǎn)．△MOE是等等腰三角形．MO=ME，直線(xiàn)M′E與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求證：∠M′MN是直角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出橢圓的a，b，c，由e=$\frac{c}{a}$，計(jì)算可得；
（Ⅱ）直線(xiàn)MA，MB的斜率之積為定值-$\frac{1}{3}$．設(shè)M（m，n），A（s，t），B（-s，-t），代入橢圓方程，相減，再由直線(xiàn)的斜率公式，化簡(jiǎn)整理可得結(jié)論；
（III）設(shè)M（m，n）（m＞0，n＞0），M'（-m，-n），E（g，0），N（u，v），由題意可得k_MO+k_ME=0，求出E的坐標(biāo)，直線(xiàn)M'E的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得N的坐標(biāo)，再由向量$\overrightarrow{M'M}$，$\overrightarrow{MN}$的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1的a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得橢圓C的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（Ⅱ）直線(xiàn)MA，MB的斜率之積為定值-$\frac{1}{3}$．
理由：設(shè)M（m，n），A（s，t），B（-s，-t），
則$\frac{{m}^{2}}{3}$+n²=1，$\frac{{s}^{2}}{3}$+t²=1，
相減可得，$\frac{{m}^{2}-{s}^{2}}{3}$=-（n²-t²），
即有k_MA•k_MB=$\frac{n-t}{m-s}$•$\frac{n+t}{m+s}$=$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{{m}^{2}-{s}^{2}}$=-$\frac{1}{3}$；
（Ⅲ）證明：設(shè)M（m，n）（m＞0，n＞0），M'（-m，-n），E（g，0），N（u，v），
由△MOE是等等腰三角形．MO=ME，可得k_MO+k_ME=0，
即為$\frac{n}{m}$+$\frac{n}{m-g}$=0，可得g=2m，即E（2m，0），
直線(xiàn)M'E：y=$\frac{n}{3m}$（x-2m），代入橢圓x²+3y²=3，
可得（1+$\frac{{n}^{2}}{3{m}^{2}}$）x²-$\frac{4{n}^{2}}{3m}$x+$\frac{4{n}^{2}}{3}$-3=0，
可得-m+u=$\frac{4m{n}^{2}}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$，解得u=$\frac{5m{n}^{2}+3{m}^{3}}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$，
v=$\frac{n}{3m}$（u-2m）=$\frac{n（{n}^{2}-{m}^{2}）}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$，
則$\overrightarrow{M'M}$•$\overrightarrow{MN}$=（2m，2n）•（u-m，v-n）=2mu-2m²+2nv-2n²
=$\frac{2m（5m{n}^{2}+3{m}^{3}）}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$-2m²+$\frac{2{n}^{2}（{n}^{2}-{m}^{2}）}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$-2n²
=$\frac{8{m}^{2}{n}^{2}}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$+$\frac{-8{m}^{2}{n}^{2}}{{n}^{2}+3{m}^{2}}$=0．
即有$\overrightarrow{M'M}$⊥$\overrightarrow{MN}$，
則∠M′MN是直角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率和方程的運(yùn)用，考查聯(lián)立方程相減，消元，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，同時(shí)考查直線(xiàn)的斜率和方程的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．