Question

【題目】已知點(diǎn)及圓．

（1）若直線過點(diǎn)且與圓心的距離為1，求直線的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，且，求以為直徑的圓的方程；

（3）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）不存在，理由詳見解析.

【解析】

（1）設(shè)出直線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算參數(shù)，即可得出所求直線方程，注意分斜率存在與否兩種情況討論；

（2）求出點(diǎn)P與圓心C之間的距離，再根據(jù)逆用弦長公式求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)，則點(diǎn)P為MN的中點(diǎn)，故以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，半徑為|MN|的一半，寫出圓的方程即可；

（3）把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因?yàn)橹本�與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以得到△＞0，列出關(guān)于a的不等式，求出a的范圍，再計(jì)算的斜率，求出a的值，即可.

（1）圓的圓心為，半徑，

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為， 則方程為．

依題意得， 解得.

所以直線的方程為，即．

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為，經(jīng)驗(yàn)證也滿足條件.

（2）由于， 而弦心距， 所以．

所以為的中點(diǎn)．故以為直徑的圓的方程為．

（3）直線，即，

代入圓的方程，消去，整理得．

由于直線交圓于，兩點(diǎn)，

故， 解得．

則實(shí)數(shù)的取值范圍是．

若存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦，則圓心必在上．

所以的斜率，而，所以．

由于，故不存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)的直線垂直平分弦．