分析 (1)由已知求得b,結合BC的長度求得t,再由BC⊥BF求得c,再由隱含條件求得a,則橢圓方程可求;
(2)設出直線l的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系求得M,N的橫坐標的和與積,代入kPM+kPN=0列式求得m值,可得使PF恰為∠MPN的平分線的點P的坐標.
解答 解:(1)由題意知,b=2,
∵C(t,0),B(0,-2),∴$BC=\sqrt{{t}^{2}+4}$=$\sqrt{20}$,則t=±4,
∵t<0,∴t=-4.
∵BC⊥BF,∴c=1,則a2=b2+c2=5.
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$;
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),
設l:y=k(x-1)(k≠0),代入$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$,化簡得
(4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0.
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$.
若點P存在,設P(m,0),由題意,kPM+kPN=0.
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}=\frac{k({x}_{1}-1)}{{x}_{1}-m}+\frac{k({x}_{2}-1)}{{x}_{2}-m}=0$.
∴(x1-1)(x2-m)+(x2-1)(x1-m)=0.
即$2{x}_{1}{x}_{2}-(1+m)({x}_{1}+{x}_{2})+2m=2•\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$-(1+m)$•\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}+2m=0$.
∴8m-40=0,得m=5.
即在x軸上存在一定點P(5,0),使PF恰為∠MPN的角平分線.
點評 本題考查橢圓的簡單性質,考查直線與橢圓位置關系的應用,訓練了“設而不求”的解題思想方法,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | c<a<b | B. | a<c<b | C. | c<b<a | D. | b<c<a |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{{2\sqrt{2}}}{81}π$ | B. | $\frac{{4\sqrt{5}}}{81}π$ | C. | $\frac{8}{81}π$ | D. | $\frac{10}{81}π$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 53,50 | B. | 53,30 | C. | 3,50 | D. | 3,31 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | |$\overrightarrow{a}$|=1⇒$\overrightarrow{a}$=±1 | B. | |$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$⇒$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$ | C. | $\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$⇒$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$ | D. | $\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{0}$⇒|$\overrightarrow{a}$|=0 |
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