4.已知圓C:(x-t)2+y2=20(t<0)與橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的一個公共點為B(0,-2),F(xiàn)(c,0)為橢圓E的右焦點,直線BF與圓C相切于點B.
(1)求t的值及橢圓E的方程;
(2)過點F任作與坐標軸都不垂直的直線l與橢圓交于M,N兩點,在x軸上是否存在一定點P,使PF恰為∠MPN的平分線?

分析 (1)由已知求得b,結合BC的長度求得t,再由BC⊥BF求得c,再由隱含條件求得a,則橢圓方程可求;
(2)設出直線l的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系求得M,N的橫坐標的和與積,代入kPM+kPN=0列式求得m值,可得使PF恰為∠MPN的平分線的點P的坐標.

解答 解:(1)由題意知,b=2,
∵C(t,0),B(0,-2),∴$BC=\sqrt{{t}^{2}+4}$=$\sqrt{20}$,則t=±4,
∵t<0,∴t=-4.
∵BC⊥BF,∴c=1,則a2=b2+c2=5.
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$;
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),
設l:y=k(x-1)(k≠0),代入$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$,化簡得
(4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0.
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}},{x}_{1}{x}_{2}=\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$.
若點P存在,設P(m,0),由題意,kPM+kPN=0.
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}=\frac{k({x}_{1}-1)}{{x}_{1}-m}+\frac{k({x}_{2}-1)}{{x}_{2}-m}=0$.
∴(x1-1)(x2-m)+(x2-1)(x1-m)=0.
即$2{x}_{1}{x}_{2}-(1+m)({x}_{1}+{x}_{2})+2m=2•\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$-(1+m)$•\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}+2m=0$.
∴8m-40=0,得m=5.
即在x軸上存在一定點P(5,0),使PF恰為∠MPN的角平分線.

點評 本題考查橢圓的簡單性質,考查直線與橢圓位置關系的應用,訓練了“設而不求”的解題思想方法,是中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

14.設a=($\frac{1}{2}$)${\;}^{\frac{3}{2}}$,b=lnπ,c=log0.5$\frac{3}{2}$,則( 。
A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

15.已知向量$\overrightarrow a=(3,\sqrt{3})$,$\overrightarrow b=(0,x)$,若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a|$,則實數(shù)x=2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

12.已知x>0,若(x-i)2是純虛數(shù)(其中i為虛數(shù)單位),則x=1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

19.在△ABC中,∠C=45°,O是△ABC的外心,若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}({m,n∈R})$,則m+n的取值范圍為[-$\sqrt{2}$,1).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

9.已知矩陣$A=[{\begin{array}{l}2&1\\ 3&2\end{array}}]$,列向量$X=[{\begin{array}{l}x\\ y\end{array}}],B=[{\begin{array}{l}4\\ 7\end{array}}]$,若AX=B,直接寫出A-1,并求出X.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

16.母線長為1的圓錐的側面展開圖的圓心角等于120°,則該圓錐的體積為( 。
A.$\frac{{2\sqrt{2}}}{81}π$B.$\frac{{4\sqrt{5}}}{81}π$C.$\frac{8}{81}π$D.$\frac{10}{81}π$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

13.某校為了解高二的1553名同學對教師的教學意見,現(xiàn)決定用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本,先在總體中隨機剔除n個個體,然后把剩下的個體按0001,0002,0003…編號并分成m個組,則n和m應分別是(  )
A.53,50B.53,30C.3,50D.3,31

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

18.下列命題中,正確的是( 。
A.|$\overrightarrow{a}$|=1⇒$\overrightarrow{a}$=±1B.|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$⇒$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$C.$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow$⇒$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$D.$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{0}$⇒|$\overrightarrow{a}$|=0

查看答案和解析>>

同步練習冊答案