19．在△ABC中，∠C=45°，O是△ABC的外心，若$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（{m，n∈R}）$，則m+n的取值范圍為[-$\sqrt{2}$，1）．

分析 利用已知條件，得∠AOB=90°，兩邊平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（{m，n∈R}）$，則m2+n2=1結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)圓的半徑為1，則由題意m、n不能同時為正，
∴m+n＜1…①
∵∠C=45°，O是△ABC的外心，
∴∠AOB=90°
兩邊平方$\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}（{m，n∈R}）$即可得出1=m2+n2+2mncos∠AOB⇒m2+n2=1…②，
∵$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}≥（\frac{m+n}{2}）^{2}$，…③，
由①②③得-$\sqrt{2}≤m+n＜1$．
故答案為：[-$\sqrt{2}$，1）

點評 本題考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

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①f（x）=cosx，g（x）=2；
②f（x）=ex．g（x）=x；
③f（x）=log2（x2-2x+5），g（x）=sin$\frac{π}{2}$-x；
④f（x）=x+$\frac{2}{x}$，g（x）=lnx+2．

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例如：考察恒等式（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n（n∈N*），左邊xn的系數(shù)為C2nn，而右邊（1+x）n（1+x）n=（Cn0+Cn1x+…+Cnnxn）（Cn0+Cn1x+…+Cnnxn），xn的系數(shù)為Cn0Cnn+Cn1Cnn-1+…+CnnCn0=（Cn0）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2，因此可得到組合恒等式C2nn=（Cn0）2+（Cn1）2+…+（Cnn）2．
（1）根據(jù)恒等式（1+x）m+n=（1+x）m（1+x）n（m，n∈N*）兩邊xk（其中k∈N，k≤m，k≤n）的系數(shù)相同，直接寫出一個恒等式；
（2）利用算兩次的思想方法或其他方法證明：$\sum_{k=0}^{[{\frac{n}{2}}]}{C_n^{2k}}•{2^{n-2k}}•C_{2k}$k=C2nn，其中$[{\frac{n}{2}}]$是指不超過$\frac{n}{2}$的最大整數(shù)．

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