Question

已知函數(shù)f(x)＝＋ln x.

(1)當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－x在[1，e]上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

(1) 最大值是0，最小值是ln 2－1 (2)

【解析】(1)當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝＋ln x，

f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2.

∴當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，f′(x)＜0，故f(x)在[1,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(2，e]時(shí)，f′(x)＞0，故f(x)在(2，e]上單調(diào)遞增．

∴f(x)在區(qū)間[1，e]上有唯一的極小值點(diǎn)，

故f(x)min＝f(x)極小值＝f(2)＝ln 2－1.

又∵f(1)＝0，f(e)＝＜0.

∴f(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值f(x)max＝f(1)＝0.

綜上可知，函數(shù)f(x)在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln 2－1.

(2)∵g(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x，

∴g′(x)＝ (a＞0)，

設(shè)φ(x)＝－ax2＋4ax－4，由題意知，只需φ(x)≥0在[1，e]上恒成立即可滿足題意．

∵a＞0，函數(shù)φ(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，

∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥即可．

故正實(shí)數(shù)a的取值范圍為.