已知函數(shù)f(x)m(x1)22x3ln x,m≥1.

(1)當(dāng)m時,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的極小值;

(2)求證:函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a,b]

(3)是否存在實數(shù)m,使曲線Cyf(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點?若存在,求出實數(shù)m的值;若不存在,請說明理由.

 

(1) 極小值為f(2)ln 2 (2)見解析 (3) 存在實數(shù)m1使得曲線Cyf(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點

【解析】(1)f′(x)m(x1)2 (x0)

當(dāng)m時,f′(x),令f′(x)0,得x12x2.

f (x),f′(x)x(0,+∞)上的變化情況如下表:

x

2

(2,+∞)

f′(x)

0

0

f(x)

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

所以當(dāng)x2時,函數(shù)f(x)x[1,3]上取到極小值,且極小值為f(2)ln 2.

(2)證明:令f′(x)0,得mx2(m2)x10.(*)

因為Δ(m2)24mm240,所以方程(*)存在兩個不等實根,記為a,b(ab)

因為m≥1,所以,

所以a0,b0,即方程(*)有兩個不等的正根,因此f′(x)0的解為(a,b)

故函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a,b]

(3)因為f′(1)=-1,所以曲線Cyf(x)在點P(1,1)處的切線l的方程為y=-x2.若切線l與曲線C有且只有一個公共點,則方程m(x1)22x3ln x=-x2有且只有一個實根.

顯然x1是該方程的一個根.

g(x)m(x1)2x1ln x,則g′(x)m(x1)1.

當(dāng)m1時,有g′(x)≥0恒成立,所以g(x)(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以x1是方程的唯一解,m1符合題意.

當(dāng)m1時,由g′(x)0,得x11x2,則x2(0,1),易得g (x)x1處取到極小值,在x2處取到極大值.

所以g(x2)g(x1)0,又當(dāng)x趨近0時,g(x)趨近-,所以函數(shù)g(x)內(nèi)也有一個解,m1不符合題意.

綜上,存在實數(shù)m1使得曲線Cyf(x)在點P(1,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點.

 

練習(xí)冊系列答案
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已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn2an1;數(shù)列{bn}滿足bn1bnbnbn1(n≥2,nN*)b11.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

(2)求數(shù)列的前n項和Tn.

 

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已知平面向量a(x1,y1),b(x2,y2),若|a|2|b|3,a·b=-6,則的值為( )

A B.- C D.-

 

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已知a(5cos x,cos x),b(sin x,2cos x),設(shè)函數(shù)f(x)a·b|b|2.

(1)當(dāng)時,求函數(shù)f(x)的值域;

(2)當(dāng)x時,若f(x)8,求函數(shù)f的值;

(3)將函數(shù)yf(x)的圖象向右平移個單位后,再將得到的圖象上各點的縱坐標(biāo)向下平移5個單位,得到函數(shù)yg(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的表達式并判斷奇偶性.

 

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已知函數(shù)yAsin(ωxφ)k(A0ω0)的最大值為4,最小值為0,最小正周期為,直線x是其圖象的一條對稱軸,則下面各式中符合條件的解析式為 ( )

Ay4sin By2sin2

Cy2sin2 Dy2sin2

 

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已知函數(shù)f(x)ln x.

(1)當(dāng)a時,求f(x)[1,e]上的最大值和最小值;

(2)若函數(shù)g(x)f(x)x[1,e]上為增函數(shù),求正實數(shù)a的取值范圍.

 

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函數(shù)f(x)的定義域是Rf(0)2,對任意xR,f(x)f′(x)1,則不等式ex·f(x)ex1的解集為(  )

A{x|x0} B{x|x0}

C{x|x<-1x1} D{x|x<-10x1}

 

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(1)求數(shù)列{an}{bn}的通項公式;

(2)求證: <5.

 

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