Question

8．已知函數(shù)f（x）=mx³+nx（x∈R）．若函數(shù)f（x）的圖象在點x=3處的切線與直線24x-y+1=0平行，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-2，3]的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先對函數(shù)f（x）進行求導，根據(jù)f'（1）=0，f'（3）=24確定函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）對函數(shù)f（x）進行求導，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，即可求函數(shù)f（x）在[-2，3]的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=mx³+nx（x∈R），∴f'（x）=3mx²+n，…（2分）
由題意得$\left\{\begin{array}{l}f'（3）=24\\ f'（1）=0\end{array}\right.$，…（4分）
即$\left\{\begin{array}{l}27m+n=24\\ 3m+n=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m=1\\ n=-3\end{array}\right.$，…（5分）
經(jīng)檢驗符合題意，∴f（x）=x³-3x； …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0得x=±1，…（8分）
列表如下：

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	↗	極大值2	↘	極小值-2	↗	18

…（10分）
由表可知x∈[-2，3]時，f（x）_min=-2，f（x）_max=18． …（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)的增減性與其導函數(shù)的正負的關系．考查函數(shù)的最值，屬中檔題．