Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長為4，且點(1，

3

2

)在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程．
（2）過橢圓右焦點的直線l交橢圓于A、B兩點，若∠AOB是直角，其中O是坐標原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長為4，且點(1，

3

2

)在該橢圓上，知

1

4

+

3 4

b2

=1，由此能求出橢圓的方程．
（2）由直線l過橢圓

x2

4

+y2=1的右焦點F（

3

，0），設(shè)l的方程為：y=k（x-

3

），聯(lián)立

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB是直角，利用韋達定理和x₁x₂+y₁y₂=0能求出直線l的方程．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長為4，且點(1，

3

2

)在該橢圓上，
∴

1

4

+

3 4

b2

=1，解得b²=1．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）∵直線l過橢圓

x2

4

+y2=1的右焦點F（

3

，0），
∴設(shè)l的方程為：y=k（x-

3

），
聯(lián)立

y=k(x- 3 ) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8 3 k2

4k2+1

，x₁x₂=

12k2-4

4k2+1

，
y₁y₂=k（x₁-

3

）•k（x₂-

3

）=k²x₁x₂-

3

k2（x₁+x₂）+3k²，
∵∠AOB是直角，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-

3

k2（x₁+x₂）+3k²
=（k²+1）•

12k2-4

4k2+1

）-

3

k2•

8 3 k2

4k2+1

+3k²
=

11k2-4

4k2+1

=0，
解得k=±

2 11

11

．
∴直線l的方程為y=±

2 11

11

（x-

3

）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理、直線方程、橢圓性質(zhì)、向量等知識點的合理運用．