Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其短軸長為2，長半軸長a=

∫

3 0

1dx，直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點Q、P，與橢圓分別交于點M，N各點均不重合且滿足

PM

=λ₁

MQ

，

PN

=λ₂

NQ

．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）求證：λ₁+λ₂=-3是直線l過定點（1，0）的充分條件．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其短軸長為2，推導出b=1，由長半軸長a=

∫

3 0

1dx，求出z，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由題意設P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），設l方程為x=t（y-m），由已知條件推導出λ₁=

m

y1

-1，λ₂=

m

y2

-1，由λ₁+λ₂=-3，可得y₁y₂+m（y₁+y₂）=0，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，由此能證明直線l過定點并能求出此定點．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其短軸長為2，
∴b=1，
∵長半軸長a=

∫

3 0

1dx，
∴a=x

|

3 0

=3
∴橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）證明：由題意設P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
設l方程為x=t（y-m），
由

PM

=λ₁

MQ

，知（x₁，y₁-m）=λ₁（x₀-x₁，-y₁）
∴y₁-m=-y₁λ₁，由題意λ₁≠0，∴λ₁=

m

y1

-1，
同理由

PN

=λ₂

NQ

知，λ₂=

m

y2

-1，
∵λ₁+λ₂=-3，∴y₁y₂+m（y₁+y₂）=0（*），（8分）
聯(lián)立

x2+3y2=3 x=t(y-m)

，得（t²+3）y²-2mt²y+t²m²-3=0，
∴需△=4m²t⁴-4（t²+3）（t²m²-3）＞0（**）
且有y₁+y₂=

2m2

t2+3

，y₁y₂=

t2m2-3

t2+3

（***），（10分）
（***）代入（*）得t²m²-3+m•2mt²=0，∴（mt）²=1，
由題意mt＜0，∴mt=-1（滿足（**）），（12分）
得l方程為x=ty+1，過定點（1，0），即（1，0）為定點．
∴λ₁+λ₂=-3是直線l過定點（1，0）的充分條件．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認真審題，注意向量知識和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．