Question

11．已知圓M：（x-2a）²+y²=4a²與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為圓M與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)E為雙曲線C的左頂點(diǎn)，若四邊形EADB為菱形，則雙曲線C的離心率為2．

Answer 1

分析 求出E，D的坐標(biāo)，由菱形的對(duì)角線互相垂直平分，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得A，B的橫坐標(biāo)，代入圓的方程可得A，B的縱坐標(biāo)，代入雙曲線的方程可得a，b的關(guān)系，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得E（-a，0），D（4a，0），
又四邊形EADB為菱形，可得AB垂直平分ED，
即有A，B的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$a，
代入圓M的方程可得A（$\frac{3}{2}$a，$\frac{\sqrt{15}}{2}$a），B（（$\frac{3}{2}$a，-$\frac{\sqrt{15}}{2}$a），
又A，B在雙曲線上，可得$\frac{9}{4}$•$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{15}{4}$•$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$=1，
即有b²=3a²，
則c²=a²+b²=4a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用圓和雙曲線的對(duì)稱性，以及菱形的性質(zhì)，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合雙曲線的基本量的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．