Question

20．已知正方形ABCD的邊長為2，點E在以D為圓心，1為半徑的圓上運動，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值為（　�。�

• A． 5+2$\sqrt{5}$
• B． -5-2$\sqrt{5}$
• C． -2+2$\sqrt{5}$
• D． 5-2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，
建立直角坐標系，設點E（m，n），利用數量積表示出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$，
利用數形結合求出$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值．

解答 解：以D為坐標原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，

建立直角坐標系，可得D（0，0），A（2，0），B（2，2），C（0，2），
設E（m，n），則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=（m-2，n）•（m-2，n-2）=（m-2）²+n（n-2）
=（m-2）²+（n-1）²-1，
要求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值，
即求點E（m，n）與點P（2，1）的距離的平方的最小值．
由圖象可得，當E在點P與D連線與單位圓的交點時，即為所求．
此時，|PE|=$\sqrt{{2}^{2}{+1}^{2}}$-1=$\sqrt{5}$-1，
即有$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$的最小值為（$\sqrt{5}$-1）²-1=5-2$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查向量的數量積的最值的求法，考查坐標法的運用以及點與圓的位置關系，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．