Question

19．已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A（0，-a），B（0，a）（a＞0），有一動(dòng)點(diǎn)P在平面內(nèi)，且直線PA與直線PB的斜率分別為k₁，k₂，令k₁•k₂=m，其中m≠0．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）已知N點(diǎn)在圓x²+y²=a²上，設(shè)m∈（-1，0）時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線為C，設(shè)F₁，F(xiàn)₂是該曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，試問是否存在點(diǎn)N，使△F₁NF₂的面積S=$\sqrt{-m}$•a²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在，得出矛盾，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P，其坐標(biāo)為（x，y），
由條件可得$\frac{y+a}{x}•\frac{y-a}{x}$=m，
即y²-mx²=a²（x≠0），
（Ⅱ）F₁（0，$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{m}}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{m}}$），N（x₀，y₀），
∵△F₁NF₂的面積S=$\sqrt{-m}$•a²，
∴$\frac{1}{2}•2$$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{m}}$|x₀|=$\sqrt{-m}$•a²，
∵0＜|x₀|≤a，
∴可得0＜$\frac{\sqrt{-m}}{\sqrt{1+\frac{1}{m}}}$≤1，
∴m²+m+1≤0，
∵△＜0，∴不等式不成立，
∴不存在點(diǎn)N，使△F₁NF₂的面積S=$\sqrt{-m}$•a²．

點(diǎn)評(píng) 考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理運(yùn)算的能力，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力．