Question

8．已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)P（a_n，S_n）在函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x上，已知b₁=1，3b_n-2b_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）是否存在整數(shù)m，M，使得m＜T_n＜M對任意正整數(shù)n恒成立，且M-m=9，說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過將點(diǎn)P（a_n，S_n）代入函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x中，利用S_n=$\frac{1}{2}$${{a}_{n}}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n與S_n-1=$\frac{1}{2}$${{a}_{n-1}}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n-1（n≥2）作差，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過（2）知T_n＜9，利用作差法可知數(shù)列{T_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（a_n，S_n）在函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x上，
∴S_n=$\frac{1}{2}$${{a}_{n}}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n，S_n-1=$\frac{1}{2}$${{a}_{n-1}}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n-1（n≥2），
兩式相減，整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又∵a_n＞0，
∴a_n=a_n-1+1，
又∵S₁=$\frac{1}{2}$${{a}_{1}}^{2}$+$\frac{1}{2}$a₁，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n；
（2）∵b₁=1，3b_n-2b_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1、公比為$\frac{2}{3}$的等比數(shù)列，
∴${b_n}={b_1}{q^{n-1}}={（{\frac{2}{3}}）^{n-1}}$，${c_n}={a_n}{b_n}=n•{（{\frac{2}{3}}）^{n-1}}$，
∴${T_n}=1+2×{（{\frac{2}{3}}）^1}+3×{（{\frac{2}{3}}）^2}+4×{（{\frac{2}{3}}）^3}+…+（n-1）×{（{\frac{2}{3}}）^{n-2}}+n×{（{\frac{2}{3}}）^{n-1}}$，
$\frac{2}{3}$T_n=$（\frac{2}{3}）^{1}$+2×$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+n×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
兩式相減，得：$\frac{1}{3}$T_n=1+$（\frac{2}{3}）^{1}$+$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}$-n×$（\frac{2}{3}）^{n}$
=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$-n×$（\frac{2}{3}）^{n}$
=3-（n+3）×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴T_n=9-（3n+9）×$（\frac{2}{3}）^{n}$；
（3）結(jié)論：假設(shè)存在整數(shù)m、M，使得m＜T_n＜M對任意正整數(shù)n恒成立，且M-m=9．
理由如下：
由（2）知：T_n=9-（3n+9）×$（\frac{2}{3}）^{n}$＜9，
又∵T_n-1=9-[3（n-1）+9]×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴T_n-T_n-1=（3n+6）×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$-（3n+9）×$（\frac{2}{3}）^{n}$=n×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$＞0，
∴數(shù)列{T_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，
∴（T_n）_min=T₁=9-12×$\frac{2}{3}$=1，
∴1＜T_n＜9，
∴m=0，M=9，
∴存在整數(shù)m、M，使得m＜T_n＜M對任意正整數(shù)n恒成立，且M-m=9．

點(diǎn)評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查錯(cuò)位相減法，考查數(shù)列的單調(diào)性，注意解題方法的積累，屬于中檔題．