Question

10．如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱長AA₁=$\sqrt{2}$，則異面直線BD₁與A₁D所成角的余弦值等于$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，1，-$\sqrt{2}$），即可求出異面直線BD₁與A₁D所成角的余弦值．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（1，0，0），D₁（0，1，$\sqrt{2}$），
A₁（0，0，$\sqrt{2}$），D（0，1，0），
∴$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，1，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（0，1，-$\sqrt{2}$），
∴異面直線BD₁與A₁D所成角的余弦值等于|$\frac{1-2}{\sqrt{1+1+2}•\sqrt{1+2}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查異面直線BD₁與A₁D所成角的余弦值，考查向量知識的運用，屬于中檔題．