Question

6．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C不共線(xiàn)，且$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），λ∈R，則點(diǎn)P的軌跡是∠BAC的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)．

Answer 1

分析 先根據(jù)$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$、$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分別表示向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$方上的單位向量，確定$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向與∠BAC的角平分線(xiàn)一致，再由$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），得到$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），得答案．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$、$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$分別表示向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$方向上的單位向量
∴$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$的方向與∠BAC的角平分線(xiàn)一致
又∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），
∴向量$\overrightarrow{AP}$的方向與∠BAC的角平分線(xiàn)一致
∴P點(diǎn)的軌跡為∠BAC的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)．
故答案為：∠BAC的角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算和幾何意義．屬基礎(chǔ)題．