Question

15．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線y²=2px（p＞0）上的不同兩點(diǎn)，則“y₁y₂=-p²”是“弦AB過焦點(diǎn)”的（　�。�

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 不充分不必要條件

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得（kx+b）²=2px，整理，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，根據(jù)韋達(dá)定理，可得弦AB過焦點(diǎn)，再設(shè)設(shè)直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$，根據(jù)韋達(dá)定理可得y₁y₂=-p²以及充要條件的定義即可判斷．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為：y=kx+b，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得（kx+b）²=2px，
整理，得k²x²+（2bk-2p）x+b²=0，
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁•x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
∵y²=2px（p＞0），y₁y₂=-p²，
∴x₁•x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$=$\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
∴k=$\frac{2b}{p}$，或k=-$\frac{2b}{p}$，
∴y=$\frac{2b}{p}$x+b（舍）或y=-$\frac{2b}{p}$x+b，
當(dāng)y=0時，x=$\frac{p}{2}$．
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，也成立，
故直線AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{p}{2}$，0）．
設(shè)過焦點(diǎn)的直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，
由韋達(dá)定理得，y₁y₂=-p²．
∴“y₁y₂=-p²”是“弦AB過焦點(diǎn)”的充要條件，
故選：C

點(diǎn)評 本題考查拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用以及充要條件的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意直線和拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，合理地運(yùn)用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．