Question

【題目】已知離心率為的橢圓的短軸的兩個端點分別為、，為橢圓上異于、的動點，且的面積最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）射線與橢圓交于點，過點作傾斜角互補的兩條直線，它們與橢圓的另一個交點分別為點和點，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率為可得出，再由的面積最大值為可求得的值，進而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；

（Ⅱ）求出點的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點的坐標(biāo)，同理可求得點的坐標(biāo)，可求得直線的斜率為，然后將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理、三角形的面積公式以及基本不等式可求得的面積的最大值.

（Ⅰ）橢圓的離心率為，可得，

由題意可得的面積的最大值為，可得，，

因此，橢圓的方程為；

（Ⅱ）聯(lián)立，解得，所以，點的坐標(biāo)為.

設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，即，

聯(lián)立，消去并整理得，

由韋達定理得，即，，

所以，點的坐標(biāo)為，

同理可得點的坐標(biāo)為，

直線的斜率為，

設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立，消去得，

，可得，

由韋達定理得，，

由弦長公式可得，

點到直線的距離，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，

因此，面積的最大值為.