Question

4．為了了解一種植物果實(shí)的情況，隨機(jī)抽取一批該植物果實(shí)樣本測(cè)量重量（單位：克），按照[27.5，32.5），[32.5，37.5），[37.5，42.5），[42.5，47.5），[47.5，52.5]分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求圖中a的值；
（2）估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)$\overline{x}$和方差s²（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（3）已知這種植物果實(shí)重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實(shí)，若所取樣本容量n=40，從該樣本分布在[27.5，32.5）和[47.5，52.5]的果實(shí)中，隨機(jī)抽取2個(gè)，求都抽到優(yōu)質(zhì)果實(shí)的概率．

Answer 1

分析 （1）利用頻率和為1，求圖中a的值；
（2）用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)$\overline{x}$和方差s²；
（3）利用古典概型的概率公式求解即可．

解答 解：（1）由題意，（0.015+0.020+0.040+a+0.075）×5=1，∴a=0.05；
（2）平均數(shù)$\overline{x}$=（30×0.02+35×0.04+40×0.075+45×0.05+50×0.015）×5=40，
S²=（30-40）²×0.1+（35-40）²×0.2+（40-40）²×0.375+（45-40）²×0.25+（50-40）²×0.075=28.75，
（3）40×0.1=4，40×0.075=3，
隨機(jī)抽取2個(gè)，有${C}_{7}^{2}$=21種情況，都抽到優(yōu)質(zhì)果實(shí)的概率1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{21}$=$\frac{5}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖，考查概率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．