Question

12．已知函數f（x）=x²-2x+3．
（1）是否存在實數m，使不等式m+f（x）＞0對于任意x∈R恒成立？并說明理由；
（2）若存在實數x，使不等式m-f（x）＞0成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式m+f（x）＞0可化為m＞-f（x），求出右邊的最大值，即可求得m的范圍；
（2）m-f（x）＞0可化為m＞f（x），求出右邊的最小值，即可求實數m的取值范圍．

解答 解：（1）不等式  m+f（x）＞0 可化為 m＞-（x-1）²-2，
要使 不等式m+f（x）＞0對于任意x∈R恒成立，只需m＞-2即可，
故存在實數m使不等式對任意x∈R恒成立，此時m＞-2；
（2）不等式m-f（x）＞0，可化為 m＞f（x），
 若存在實數x使不等式 m-f（x）＞0成立，只需m＞f（x）_min
又f（x）=（x-1）²+2，所以f（x）_min=2，
故所求實數m的取值范圍時m＞2．

點評 本題考查恒成立問題，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．