Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy有相同的長(zhǎng)度單位，以原點(diǎn)D為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，曲線C_l的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，曲線C₂的參數(shù)方程為

x=tcosα y=tsinα

(t為參數(shù)）．
（I）當(dāng)α=

π

4

時(shí)，求曲線C_l與C₂公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)；
（II）若α≠

π

2

，當(dāng)α變化時(shí)，設(shè)曲線C₁與C₂的公共點(diǎn)為A，B，試求AB中點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程，并指出它表示什么曲線．

Answer 1

分析：（I）先消去參數(shù)將曲線C₁與C₂的參數(shù)方程化成普通方程，再聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可，
（II）設(shè)M（ρ，θ），不妨取A（0，θ），B（2ρ，θ），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得M點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程，由極坐標(biāo)方程即可看出其是什么類型的曲線．

解答：解：（Ⅰ）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x=0．①
當(dāng)α=

π

4

時(shí)，曲線C₂的普通方程為y=x．②
由①，②得曲線C₁與C₂公共點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程為（0，0），（1，1）．…（4分）
（Ⅱ）C₁是過極點(diǎn)的圓，C₂是過極點(diǎn)的直線．
設(shè)M（ρ，θ），不妨取A（0，θ），B（2ρ，θ），則2ρ=2cosθ．…（7分）
故點(diǎn)M軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=cosθ（θ≠

π

2

）．
它表示以（

1

2

，0）為圓心，以

1

2

為半徑的圓，去掉點(diǎn)（0，0）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，利用參數(shù)方程研究軌跡問題的能力．