Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx-1，其中a為常數(shù)
（1）當(dāng)$a∈（-∞，-\frac{1}{e}）$時(shí)，若f（x）在區(qū)間（0，e）上的最大值為-3，求a的值；
（2）當(dāng)$a=-\frac{1}{e}$時(shí)，若$g（x）=|{f（x）}|-\frac{lnx}{x}-\frac{2}$存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出${f}^{'}（x）=a+\frac{1}{x}$，由導(dǎo)當(dāng)我性質(zhì)得f（x）的增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，e）．從而f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$）=-1-1+ln（-$\frac{1}{a}$）=-3，由此能求出a．
（2）函數(shù)g（x）=|f（x）|-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}$存在零點(diǎn)，即方程|f（x）|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2}$有實(shí)數(shù)根，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax+lnx-1，其中a為常數(shù)，
∴${f}^{'}（x）=a+\frac{1}{x}$，
令f′（x）=0，得x=-$\frac{1}{a}$，
∵a∈（-∞，-$\frac{1}{e}$），∴0＜-$\frac{1}{a}$＜e，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜-$\frac{1}{a}$，
由f′（x）＜0，得-$\frac{1}{a}＜x＜e$，
∴f（x）的增區(qū)間為（0，-$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（-$\frac{1}{a}$，e）．
∴f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$）=-1-1+ln（-$\frac{1}{a}$）=-3，
解得a=-e．
（2）函數(shù)g（x）=|f（x）|-$\frac{lnx}{x}$-$\frac{2}$存在零點(diǎn)，
即方程|f（x）|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2}$有實(shí)數(shù)根，
由已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞0}，
當(dāng)a=-$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）=-$\frac{x}{e}$-1+lnx，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0．
∴f（x）的增區(qū)間為（0，e），減區(qū)間為（e，+∞），
∴f（x）_max=f（e）=-1，∴|f（x）|≥1，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2}$，則h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，
當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＜0，
從而函數(shù)h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（x）_max=h（e）=$\frac{1}{e}+\frac{2}$，
要使方程|f（x）|=$\frac{lnx}{x}+\frac{2}$有實(shí)數(shù)根，
只需h（x）_min=h（e）=$\frac{1}{e}+\frac{2}≥1$即可，∴b≥2-$\frac{2}{e}$，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是[2-$\frac{2}{e}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值及實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法的合理運(yùn)用．