Question

7．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖，M是A₁B的中點，N是棱B₁C₁上的任意一點（含頂點）．

①當(dāng)點N是棱B₁C₁的中點時，MN∥平面ACC₁A₁；
②MN⊥A₁C；
③三棱錐N-A₁BC的體積為V_{N-A${\;}_{{\;}_{1}}$BC}=$\frac{1}{6}$a³；
④點M是該多面體外接球的球心．
其中正確的是①②③④．

Answer 1

分析 本題是直觀圖和三視圖的綜合分析題，要抓住M是A₁B的中點，N是棱B₁C₁上的任意一點（含頂點）就是動點，從三視圖抓住直觀圖的特征，結(jié)合下情況分別證明．

解答 解：①M(fèi)連接AB中點E，N連接BC中點F，得到MNFE平行于平面ACC₁A₁，
面面平行⇒線面平行，①正確；
②M連接A₁C中點G，連接C₁G，A₁C⊥平面MNC₁G．∴MN⊥A₁C；②正確；
③三棱錐N-A₁BC的體積為V_N-A=$\frac{1}{3}•{S}_{{BCA}_{1}}•M{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}•C{A}_{1}•BC•M{B}_{1}$=$\frac{1}{6}$a³，③正確；
④由三視圖可知：此多面體是正方體切割下來了的，M是A₁B的中點（空間對角線中點），是正方體中心，∴點M是該多面體外接球的球心．故④正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了直觀圖和三視圖的關(guān)系．通過三視圖抓住直觀圖的特征；線面垂直的判定和性質(zhì)，遇中點找中點的思想．考慮補(bǔ)形來確定球心．考查空間想象能力，是中檔題．