Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為M，若函數(shù)f（x）滿足條件[m，n]⊆M，使f（x）在[m，n]上的值域是[

m

2

，

n

2

]，則成f（x）為“半縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log₃（3^x+λ）為“半縮函數(shù)”，則λ的范圍是（　�。�

• A、（0，1）
• B、（0，

  1

  4

  ）
• C、（0，

  1

  2

  ]
• D、（

  1

  4

  ，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意先判斷f（x）=log₃（3^x+λ）在其定義域上是增函數(shù)，從而可得方程f（x）=

x

2

有兩個不同的根，代入解λ的范圍．

解答： 解：由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，
f（x）=log₃（3^x+λ）在其定義域上是增函數(shù)，
若由函數(shù)f（x）=log₃（3^x+λ）為“半縮函數(shù)”可知，
方程f（x）=

x

2

有兩個不同的根，
即log₃（3^x+λ）=

x

2

有兩個不同的根，
即3^x+λ=3

x

2

有兩個不同的根，
則作函數(shù)λ=3

x

2

-3^x的圖象可得，
結(jié)合選項可得，
λ∈（0，

1

4

）；
故選B．

點評：本題考查了學(xué)生對新定義的理解與應(yīng)用，同時考查了函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．