Question

【題目】已知函數

(1)求函數的最大值和最小值,并求取得最大值和最小值時對應的的值；

(2)設方程在區(qū)間內有兩個相異的實數根求的值；

(3)如果對于區(qū)間上的任意一個都有成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）的最大值為2，此時x＝kπ，k∈Z，f（x）的最小值為﹣2，此時x＝kπ，k∈Z；（2）x1+x2＝或x1+x2＝；（3）a≥1．

【解析】

（1）利用三角形的恒等變換，將f（x）化簡成f（x）＝2sin（2x），再求f（x）的最大值和最小值，

（2）根據函數圖象，找到m的取值范圍，觀察x1和x2的關系，寫出x1+x2的值，

（3）根據定義域求得f（x）的取值范圍，再求a的取值范圍．

（1）f（x）＝2sin（π+x）sin（x）+2cos2x﹣1，

sin2x+cos2x，

＝2sin（2x），

f（x）的最大值為2，x取得最大值對應的x的值x＝kπ，k∈Z，

f（x）的最小值為﹣2，x取得最小值對應x的值x＝kπ，k∈Z，

（2）f（x）＝m，sin（2x），

f（x）＝m在（0，π）內有相異的兩個實數根x1，x2，f（x）與有兩個不同的交點，

或，

由圖象可知：當m∈（1，）函數y＝f（x）的圖象關于直線x對稱，

x1+x2＝2；

當m∈（-1，），函數y＝f（x）的圖象關于直線x對稱，

x1+x2＝2，綜上x1+x2＝或x1+x2＝

（3）f（x）﹣a≤1，即a≥f（x）﹣1，

x∈[，]，2x∈[，]，

∴f（x）∈[﹣1，2]，

∴a≥1．