Question

函數(shù)f(x)=

2

sin(

π

4

-x)+4sin

x

2

cos

x

2

．
（Ⅰ）在△ABC中，cosA=-

3

5

，求f（A）的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及函數(shù)的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換可得f（x）=cosx+sinx，在△ABC中，cosA=-

3

5

⇒sinA=

1-cos2A

=

4

5

，于是可得f（A）的值；
（Ⅱ）由于f（x）=

2

sin（x+

π

4

），利用正弦函數(shù)的周期性與單調性即可求函數(shù)f（x）的最小正周期及函數(shù)的單調遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

2

（

2

2

cosx-

2

2

sinx）+2sinx=cosx+sinx，
∵在△ABC中，cosA=-

3

5

，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∴f（A）=cosA+sinA=

1

5

；
（Ⅱ）∵f（x）=

2

（

2

2

cosx+

2

2

sinx）
=

2

sin（x+

π

4

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π；
由-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]（k∈Z）．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查正弦函數(shù)的周期性與單調性，考查同角三角函數(shù)間的關系，屬于中檔題．