【題目】已知函數(shù),,

當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求出其極值;

若函數(shù)存在兩個零點,k的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1)和(0,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(-10).極大值為;極小值為f0=0.(2)(-∞,0.

【解析】

(1)先求導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律,確定單調(diào)區(qū)間與極值,(2)先求導(dǎo)數(shù),再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點,根據(jù)k的值分五種情況分類討論,結(jié)合對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性以及極值正負(fù)確定零點個數(shù),即得結(jié)果.

解:(1)當(dāng)k=1時,,

f'x=x+1ex-x+1=x+1)(ex-1),

x∈(-∞,-1)時,f′x0,fx)為增函數(shù);

x∈(-1,0時,f′x0,fx)為減函數(shù);

x∈(0,+∞)時,f'x0,fx)為增函數(shù).

故函數(shù)fx)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1)和(0,+∞);單調(diào)減區(qū)間為(-10).

所以函數(shù)的極大值為;極小值為f0=0

2)由已知,,gx=kex-x,

F'x=kxex-x=xkex-1.

①當(dāng)k0時,Fx)在(-∞0)為增,在(0,+∞)為減,且注意到F0=-k0,函數(shù)Fx)的圖象兩邊向下無限伸展,故此時Fx)存在兩個零點,適合題意.

②當(dāng)k=0時,在(-∞,0)為增,在(0,+∞)為減,且F0=0,故此時Fx)只有一個零點.

③當(dāng)k=1時,,故函數(shù)(-∞,+∞)為增,易知函數(shù)Fx)只有一個零點.

④當(dāng)k∈(0,1)時,Fx)在(-∞,0)為增,為減,為增,且F0=-k0易知Fx)只有一個零點.

⑤當(dāng)k∈(1,+∞)時,Fx)在為增,為減,(0,+∞)為增,且,F0=-k0易知Fx)只有一個零點.

綜上,k的取值范圍是(-∞,0.

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, ,

, ,

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A. B. C. D.

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