10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，2Sn=nan+5n
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）已知S3=21，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析 （Ⅰ）由2Sn=n•an+5n，得：2an+1=（n+1）an+1-nan+5（n-1）an+1-nan+5=0，從而nan+2-2nan+1+nan=0，由此能證明{an}為等差數(shù)列．
（Ⅱ）由等差數(shù)列項(xiàng)公式求出a2=7，由n=1，得a1=5，從而求出{an}的公差，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解答 證明：（Ⅰ）2Sn=n•an+5n，①
以n+1代替①式中的n，得：2Sn+1=（n+1）an+1+5（n+1），②
②-①，得：2an+1=（n+1）an+1-nan+5（n-1）an+1-nan+5=0，③
以n+1代換③中的n 得：nan+2-（n+1）an+1+5=0，④
④-③，得：nan+2-2nan+1+nan=0，
即an+2+an=2an+1，
∴{an}為等差數(shù)列．
解：（Ⅱ）∵S3=3a2=21，∴a2=7，
①式中，n=1，得a1=5，
∴{an}的公差d=a2-a1=2，
∴an=2n+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．

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