Question

17．平面內(nèi)有$\overrightarrow{o{p_1}}+\overrightarrow{o{p_2}}+\overrightarrow{o{p_3}}=\overrightarrow 0$，且$|\overrightarrow{o{p_1}}|=|\overrightarrow{o{p_2}}|=|\overrightarrow{o{p_3}}|=1$，則△P₁P₂P₃的形狀是等邊三角形．

Answer 1

分析 設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)運算得到P₁P₂=P₁P₃=P₂P₃，即可判斷三角形的形狀．

解答 解：設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
∵$|\overrightarrow{o{p_1}}|=|\overrightarrow{o{p_2}}|=|\overrightarrow{o{p_3}}|=1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\left.\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}{+y}_{1}^{2}=1}\\{{x}_{2}^{2}{+y}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.}\\{{x}_{3}^{2}{+y}_{3}^{2}=1}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{o{p_1}}+\overrightarrow{o{p_2}}+\overrightarrow{o{p_3}}=\overrightarrow 0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}=0}\\{{y}_{1}+{y}_{2}+{y}_{3}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-{x}_{3}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=-{y}_{3}}\end{array}\right.$，
∴（x₁+x₂）²+（y₁+y₂）²=x₃²+y₃²，
∴2x₁ x₂+2y₁ y₂=-1，
∴p₁p₂=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
P₁P₃=P₂P₃=$\sqrt{3}$，
∴P₁P₂=P₁P₃=P₂P₃，
∴△P₁P₂P₃是等邊三角形．
故答案為：等邊三角形．

點評 本題主要考查了向量的運算，三角形形狀的判斷，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．