、設(shè)函數(shù),,其中|t|≤1,將f(x)的最小值記為g(t).
(1)求g(t)的表達(dá)式;
(2)對于區(qū)間[-1,1]中的某個t,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式g(t)≤成立?如果存在,求出這樣的a及其對應(yīng)的t;如果不存在,請說明理由.
(1) g(t)=4t3-3t+3.
(2)當(dāng)t=-1或時,這樣的a存在,且a=1,使得g(t)≥成立.
而當(dāng)t∈(-1,1]且t≠時,這樣的a不存在.
【解析】該題考查函數(shù)的求導(dǎo),以及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)的最值,還考查了三角函數(shù)的公式的利用,以及恒成立問題.
(1)利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)換公式化簡f(x),在用配方法得出函數(shù)的最簡式,即可得出函數(shù)g(x)的表達(dá)式
(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),畫出表格判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值,g(t)≤
成立,即≥g(t)的最大值,求出a的范圍.
解析:(1)
.
由(sinx-t)2≥0,|t|≤1,故當(dāng)sinx=t時,f(x)有最小值g(t),即g(t)=4t3-3t+3.
(2)我們有.
列表如下:
t |
(-1,-) |
- |
(-, ) |
(,1) |
|
g'(t) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
G(t) |
↗ |
極大值g(-) |
↘ |
極小值g() |
↗ |
由此可見,g(t)在區(qū)間(-1,-)和(,1)單調(diào)增加,在區(qū)間(-,)單調(diào)減小,極小值為g()
=2,又g(-1)=-4-(-3)+3=2 故g(t)在[-1,1]上的最小值為2
注意到:對任意的實(shí)數(shù)a,=∈[-2,2]當(dāng)且僅當(dāng)a=1時,=2,對應(yīng)的t=-1
或,故當(dāng)t=-1或時,這樣的a存在,且a=1,使得g(t)≥成立.
而當(dāng)t∈(-1,1]且t≠時,這樣的a不存在.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x |
2 |
x |
2 |
4a |
1+a2 |
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設(shè)函數(shù),,
其中|t|≤1,將f(x)的最小值記為g(t).
(1)求g(t)的表達(dá)式;
(2)對于區(qū)間[-1,1]中的某個t,是否存在實(shí)數(shù)a,使得不等式g(t)≤成立?如果存在,求出這樣的a及其對應(yīng)的t;如果不存在,請說明理由.
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