Question

6．小明在研究三棱錐的時候，發(fā)現(xiàn)下面一個真命題，在三棱錐A-BCD中，已知∠BAC=α，∠CAD=β，∠DAB=γ（如圖），設(shè)二面角B-AC-D的大小為θ，則cosθ=$\frac{f（λ）-cosαcosβ}{sinαsinβ}$，其中f（γ）是一個與γ有關(guān)的代數(shù)式，請寫出符合條件的f（γ）=cosγ．

Answer 1

分析 在平面ABC內(nèi)，作CB⊥AC于C，在平面ACD內(nèi)作CD⊥AC于C，連接BD，則∠BCD為二面角B-AC-D的平面角，大小為θ，設(shè)AB=a，AD=b，把BC，CD，BD用含有α，β，γ及a，b的代數(shù)式表示，利用余弦定理得答案．

解答 解：如圖，
在平面ABC內(nèi)，作CB⊥AC于C，在平面ACD內(nèi)作CD⊥AC于C，連接BD，則∠BCD為二面角B-AC-D的平面角，大小為θ，
設(shè)AB=a，AD=b，則BC=asinα，CD=bsinβ，BD²=a²+b²-2abcosγ，
∴在△BCD中，cosθ=$\frac{{a}^{2}si{n}^{2}α+^{2}si{n}^{2}β-{a}^{2}-^{2}+2abcosγ}{2asinα•bsinβ}$=$\frac{2abcosγ-{a}^{2}co{s}^{2}α-^{2}co{s}^{2}β}{2absinαsinβ}$．
在Rt△ACB中，AC=cosα，在Rt△ACD中，AC=bcosβ，
∴a²cos²α=b²cos²β=AC²，∴a²cos²α+b²cos²β=2AC²=2abcosαcosβ，
∴$cosθ=\frac{2abcosγ-2abcosαcosβ}{2absinαsinβ}=\frac{cosγ-cosαcosβ}{sinαsinβ}$．
∴f（γ）=cosγ．
故答案為：cosγ．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，考查三角形的解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．