Question

18．已知直線l：$ρsin（θ+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}m$，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$
（1）當m=3時，判斷直線l與曲線C的位置關系；
（2）若曲線C上存在到直線l的距離等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的點，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）分別化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離d與半徑比較即可得出結論．
（2）曲線C上存在到直線l的距離等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的點，可得圓心C（1，0）到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-m\sqrt{3}|}{2}$≤r+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解出即可得出．

解答 解：（1）直線l：$ρsin（θ+\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}m$，展開可得：$ρ（\frac{1}{2}sinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，
化為直角坐標方程：y+$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$m，
m=3時，化為：y+$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$=0，
曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{3}cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$，利用平方關系化為：（x-1）²+y²=3．
圓心C（1，0）到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-3\sqrt{3}|}{2}$=$\sqrt{3}$=r，
因此直線l與曲線C相切．
（2）∵曲線C上存在到直線l的距離等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的點，
∴圓心C（1，0）到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}-m\sqrt{3}|}{2}$≤$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得-2≤m≤4．
∴實數(shù)m的范圍是[-2，4]．

點評 本題考查了極坐標方程回去直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．