Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（I）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）若x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的數(shù)量積求出函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由此能求出f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由x∈（0，$\frac{π}{2}$），知2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），由此能求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow$=（sinx，cos2x），x∈R，
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosxsinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$→-$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）_min→-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）_max=1，
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的周期性的求法，考查三角函數(shù)的值域的求法，涉及到向量數(shù)量積公式、三角函數(shù)恒等式變換、三角函數(shù)圖象及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是中檔題．