Question

19．如圖1所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°．將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD（如圖2）
（1）求證：平面ADC⊥平面ABC；
（2）求三棱錐D-ABC的高．

Answer 1

分析 （1）由題意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC⊥平面ADC；
（2）利用等體積，求三棱錐D-ABC的高．

解答 （1）證明：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°
∴BD⊥CD
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD
故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB，又AD⊥AB
故AB⊥平面ADC，AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．
（2）解：設(shè)三棱錐D-ABC的高為h，
則由題意，△ABD中，AB=1，BC=2，AC=$\sqrt{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$h，
∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即三棱錐D-ABC的高為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查等體積方法的運(yùn)用，考查邏輯思維能力，是中檔題．