若函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x1,x2D,均有|f(x2)f(x1)|≤|x2x1|,則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的平緩函數(shù)

(1)判斷g(x)sin xh(x)x2x是不是實數(shù)集R上的平緩函數(shù),并說明理由;

(2)若數(shù)列{xn}對所有的正整數(shù)n都有|xn1xn|≤,設(shè)ynsin xn,求證:|yn1y1|.

 

1不是2)見解析

【解析】g(x)sin xR上的平緩函數(shù),但h(x)x2x不是區(qū)間R上的平緩函數(shù).設(shè)φ(x)xsin x,則φ′(x)1cos x≥0,則φ(x)xsin x是實數(shù)集R上的增函數(shù),

不妨設(shè)x1x2,則φ(x1)φ(x2),即x1sin x1x2sin x2,

sin x2sin x1x2x1.

yxsin x也是R上的增函數(shù),則x1sin x1x2sin x2

sin x2sin x1x1x2,

①②得-(x2x1)sin x2sin x1x2x1.

|sin x2sin x1||x2x1|x1x2都成立.

x1x2時,同理有|sin x2sin x1||x2x1|成立.

又當x1x2時,|sin x2sin x1||x2x1|0,

對任意的實數(shù)x1,x2R,

均有|sin x2sin x1|≤|x2x1|.

g(x)sin xR上的平緩函數(shù)

|h(x1)h(x2)||(x1x2)(x1x21)|,

x13x22,則|h(x1)h(x2)|4|x1x2|,

h(x)x2x不是R上的平緩函數(shù)

(2)證明 由(1)g(x)sin xR上的平緩函數(shù)

|sin xn1sin xn|≤|xn1xn|,

|yn1yn|≤|xn1xn|.

|xn1xn|≤,

|yn1yn|≤.

|yn1y1||(yn1yn)(ynyn1)(yn1yn2)(y2y1)|,

|yn1y1|≤|yn1yn||ynyn1||yn1yn2||y2y1|.

|yn1y1|≤

.

 

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A. B. C. D.

 

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A. B[1,0] C(,-2] D.

 

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