Question

20．若函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）+x•f'（x）＜0成立．已知a=（2^0.2）•f（2^0.2），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（log₃9）•f（log₃9），則a、b、c的大小關(guān)系是b＞a＞c．

Answer 1

分析 由題意可知f（x）為定義域內(nèi)的偶函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），由其導(dǎo)函數(shù)在x∈（-∞，0）時(shí)小于0，可知函數(shù)在（-∞，0）上為減函數(shù)，又g（x）為奇函數(shù)，可知其在（0，+∞）上為減函數(shù)，再由函數(shù)單調(diào)性得答案．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴f（x）為定義域內(nèi)的偶函數(shù)，
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）+x•f'（x）＜0，設(shè)g（x）=xf（x），
則g′（x）=f（x）+x•f'（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，則在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∵2¹＞2^0.2＞2⁰=1，0＜log_π3＜log_ππ=1，log₃9=2，
∴0$＜lo{g}_{π}3＜{2}^{0.2}＜lo{g}_{3}9$，
則g（log_π3）＞g（2^0.2）＞g（log₃9）．
故答案為：b＞a＞c．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)構(gòu)造法，是中檔題．