Question

13．如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，點E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）證明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）連結(jié)A₁B，求二面角A₁-DB-E的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC交BD于點F，推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥A₁C，連結(jié)EF交A₁C于點G，推導(dǎo)出Rt△A₁AC∽Rt△FCE，由此能證明A₁C⊥平面BED．
（Ⅱ）連結(jié)A₁B，連結(jié)A₁F，得到∠A₁FE是二面角A₁-DB-E的平面角，由此能求出二面角A₁-DB-E的正弦值．

解答 證明：（Ⅰ）依題設(shè)，AB=2，CE=1．
連結(jié)AC交BD于點F，則BD⊥AC．
由三垂線定理知，BD⊥A₁C．（3分）
在平面A₁CA內(nèi)，連結(jié)EF交A₁C于點G，
∵$\frac{{A{A_1}}}{FC}=\frac{AC}{CE}=2\sqrt{2}$，
∴Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C=∠CFE，∠CFE與∠FCA₁互余．
于是A₁C⊥EF．A₁C與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，
∴A₁C⊥平面BED．（6分）
解：（Ⅱ）連結(jié)A₁B，連結(jié)A₁F，
∵A₁B=A₁D，DF=FB，∴A₁F⊥BD，
又∵DC=BC，∴EF⊥BD，
∴∠A₁FE是二面角A₁-DB-E的平面角．（8分）
$EF=\sqrt{C{F^2}+C{E^2}}=\sqrt{3}$，$CG=\frac{CE×CF}{EF}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}}$，
又${A_1}C=\sqrt{AA_1^2+A{C^2}}=2\sqrt{6}$，${A_1}G={A_1}C-CG=\frac{{5\sqrt{6}}}{3}$．
${A_1}F=\sqrt{{A_1}{A^2}+A{F^2}}=\sqrt{16+2}=3\sqrt{2}$．
∴$sin∠{A_1}FG=\frac{{{A_1}G}}{{{A_1}F}}=\frac{{\frac{{5\sqrt{6}}}{3}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，
∴二面角A₁-DB-E的正弦值為$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．