Question

1．已知數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=a，a_n+1=k（a_n+a_n+2）對(duì)任意n∈N*都成立，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，求k的值；
（2）若a=1，k=-$\frac{1}{2}$，求S_n；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列{a_m}是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)a_m，a_m+1，a_m+2按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求得k的值；
（2）由a_n+1=$-\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，分類，根據(jù)n為偶數(shù)或奇數(shù)時(shí)，分組，即可求得S_n；
（3）方法一：由題意根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，分別求得q的值，求得任意相鄰三項(xiàng)的順序，即可求得k的值，方法二：分類，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得a的值，即可求得k的值．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差數(shù)列，則2a_n+1=a_n+a_n+2對(duì)任意n∈N*都成立，
又a_n+1=k（a_n+a_n+2）對(duì)任意n∈N*都成立，
∴k=$\frac{1}{2}$．
（2）∵a_n+1=$-\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），
a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，
S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）=$\frac{n}{2}$（a₁+a₂）=$\frac{n}{2}$（a+1），
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，
S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a_n-1+a_n），
=a₁+$\frac{n-1}{2}$（a₂+a₃）=a₁+$\frac{n-1}{2}$[-（a₁+a₂）]=1-$\frac{n-1}{2}$（a+1），n=1也適合上式．
綜上可得，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{n-1}{2}（a+1）}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{2}（a+1）}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（3）方法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列{a_m}是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)a_m，a_m+1，a_m+2按某順序排列后成等差數(shù)列．a(chǎn)_m，a_m+1，a_m+2分別表示為：a_m，a_mq，${a}_{m}{q}^{2}$．
只考慮：1，q，q²（q≠1）的三種排列即可：
1，q，q²；1，q²，q；q²，1，q．可得2q=1+q²，2q²=1+q；2=q²+q．
分別解得q=1；q=1或-$\frac{1}{2}$；q=1或q=-2．
∴只有q=-2滿足條件．∴相鄰三項(xiàng)a_m，a_m+1，a_m+2分別為：a_m，-2a_m，4a_m．
∴-2a_m=k（a_m+4a_m）．解得k=-$\frac{2}{5}$．
方法二：設(shè)數(shù)列{a_m}是等比數(shù)列，則它的公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=a，則a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1，…6分 ①若a_m+1為等差中項(xiàng)，則2a_m+1=a_m+a_m+2，即2a^m=a^m-1+a^m+1，解得：a=1，不合題意；
②若a_m為等差中項(xiàng)，則2a_m=a_m+1+a_m+2，即2a^m-1=a^m+a^m+1，化簡(jiǎn)得：a²+a-2=0，
解得：a=-2或a=1（舍）；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$；
③若a_m+2為等差中項(xiàng)，2a_m+2=a_m+a_m+1，即2a^m+1=a^m-1+a^m，化簡(jiǎn)得：2a²-a-1=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$；
綜上可得，滿足要求的實(shí)數(shù)k有且僅有一個(gè)，k=-$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．