【題目】已知函數(shù)

1)求函數(shù)的極值.

2,若不等式上恒成立,求的最大值.

3)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)上的值域?yàn)?/span>?如果存在,請(qǐng)給出證明;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)極大值沒(méi)有極小值;(2)最大值為;(3)存在,見(jiàn)解析

【解析】

1)先求出,令,再列表討論的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而可求出函數(shù)的極值;(2)根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性,進(jìn)而可求出的最大值;

3)由(1)知,當(dāng)時(shí),,得,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可猜想,存在實(shí)數(shù)符合題意,其中,的圖象與直線上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),再證明上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解即可.

1,其定義域?yàn)?/span>,

求導(dǎo)得

,得

的關(guān)系列表如下:

1

+

0

極大值

因此,當(dāng)時(shí),取得極大值沒(méi)有極小值.

2,

因?yàn)?/span>上恒成立,

所以上恒成立,

設(shè),

則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為上恒成立.

,

,解得

的關(guān)系列表如下:

+

0

極大值

所以只需,故的最大值為

3)存在實(shí)數(shù),滿足題意.

證明如下:

由(1)知,當(dāng)時(shí),

所以,即,注意到上單調(diào)遞減,

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可猜想,存在實(shí)數(shù)符合題意,其中,的圖象與直線上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

故只需證明方程上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

,則

,得,因?yàn)?/span>,所以只有成立.

的關(guān)系列表如下:

+

0

極大值

因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),,

,

所以存在,使得,滿足,

因?yàn)楹瘮?shù)上單調(diào)遞減,所以方程上只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

綜上所述,存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)上的值域?yàn)?/span>

練習(xí)冊(cè)系列答案
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注:90后指1990年及以后出生,80后指1980~1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過(guò)總?cè)藬?shù)的20%

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