【題目】已知.
(1)證明在處的切線恒過定點;
(2)若有兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)先對函數(shù)求導,將代入導函數(shù)中可得切線的斜率,利用點斜式寫出切線方程化簡得,從而可知切線恒過點;
(2)若有兩個極值點,則有兩個不同的正根,即有兩個零點,也就是的圖像與軸有兩個交點,然后對求導,討論導函數(shù)的正負,從而可求出單調(diào)區(qū)間,進而可得到的取值范圍
(1)∵,所以
又因為,
所以在處的切線方程
即
所以在處的切線恒過定點.
(2)∵,其中,
設,
則,
當時,,
則在單調(diào)遞增,
在上至多有一個零點,
即在上至多有一個零點,
∴至多只有一個極值點,不合題意,舍去.
當時,設,,
∴,∴在上單調(diào)遞減,
∵,,
∴,使得,即2,
當時,,此時,
∴在單調(diào)遞增,
當時,,此時,
∴在單調(diào)遞減,
∴在有極大值,
即
若,則,
∴,在單調(diào)遞減,不合題意,
若,
設,,
∴在單調(diào)遞增,
又,∴,
∵,
∴在單調(diào)遞增,
∴,即,
此時,
∵,
在單調(diào)遞增,
,使得,
當時,,
∴,在上單調(diào)遞減,
當時,,
∴,在上單調(diào)遞增,
∴在處取得極小值.
又∵,
∴
∵在單調(diào)遞減,,
又∵,∴,
∴,使得,
當時,,
∴,在上單調(diào)遞增,
當時,,
∴,在上單調(diào)遞減,
∴在處取得極大值.
綜上所述,若有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍為.
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【題目】已知函數(shù)若是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是_________;若存在實數(shù),使函數(shù)有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是________.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值.
(2),若不等式在上恒成立,求的最大值.
(3)是否存在實數(shù),使得函數(shù)在上的值域為?如果存在,請給出證明;如果不存在,請說明理由.
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【題目】新型冠狀病毒蔓延以來,世界各國都在研制疫苗,某專家認為,某種抗病毒藥品對新型冠狀病毒具有抗病毒、抗炎作用,假如規(guī)定每天早上7:00和晚上7:00各服藥一次,每次服用該藥藥量700毫克具有抗病毒功效,若人的腎臟每12小時從體內(nèi)濾出這種藥的70%,該藥在人體內(nèi)含量超過1000毫克,就將產(chǎn)生副作用,若人長期服用這種藥,則這種藥__________(填“會”或者“不會”)對人體產(chǎn)生副作用.
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【題目】分形幾何是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學,科赫曲線是比較典型的分形圖形,1904年瑞典數(shù)學家科赫第一次描述了這種曲線,因此將這種曲線稱為科赫曲線.其生成方法是:(I)將正三角形(圖(1))的每邊三等分,以每邊三等分后的中間的那一條線段為一邊,向形外作等邊三角形,并將這“中間一段”去掉,得到圖(2);(II)將圖(2)的每邊三等分,重復上述的作圖方法,得到圖(3);(Ⅲ)再按上述方法繼續(xù)做下去……,設圖(1)中的等邊三角形的邊長為1,并且分別將圖(1)、圖(2)、圖(3)、…、圖(n)、…中的圖形依次記作,,,…,,…,設的周長為,則為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù),給出以下四個命題:
①的圖象關于軸對稱;
②在上是減函數(shù);
③是周期函數(shù);
④在上恰有兩個零點.
其中真命題的序號是______.(請寫出所有真命題的序號)
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【題目】已知曲線的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為軸非負半軸建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)在(1)中,設曲線經(jīng)過伸縮變換得到曲線,設曲線上任意一點為,當點到直線的距離取最大值時,求此時點的直角坐標.
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【題目】某水果批發(fā)商經(jīng)銷某種水果(以下簡稱水果),購入價為300元/袋,并以360元/袋的價格售出,若前8小時內(nèi)所購進的水果沒有售完,則批發(fā)商將沒售完的水果以220元/袋的價格低價處理完畢(根據(jù)經(jīng)驗,2小時內(nèi)完全能夠把水果低價處理完,且當天不再購入).該水果批發(fā)商根據(jù)往年的銷量,統(tǒng)計了100天水果在每天的前8小時內(nèi)的銷售量,制成如下頻數(shù)分布條形圖.
記表示水果一天前8小時內(nèi)的銷售量,表示水果批發(fā)商一天經(jīng)營水果的利潤,表示水果批發(fā)商一天批發(fā)水果的袋數(shù).
(1)若,求與的函數(shù)解析式;
(2)假設這100天中水果批發(fā)商每天購入水果15袋或者16袋,分別計算該水果批發(fā)商這100天經(jīng)營水果的利潤的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),每天應購入水果15袋還是16袋?
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