【題目】已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù))）．

（1）若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)的值并討論的單調(diào)性；

（2）若，函數(shù)有兩個零點，，證明：．

【答案】（1）；在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由得到，所以，分，兩種情況討論即可得到的單調(diào)性；

（2），當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不存在兩個零點，當(dāng)時，，，，不妨設(shè)，令，則，，，，欲證，只需證明，再構(gòu)造函數(shù)證明即可.

（1），因為是函數(shù)的極值點，

所以，所以，所以．

當(dāng)時，，，所以，

當(dāng)時，，，所以，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）．

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不存在兩個零點，∴．

由題意知，，

∴，，，，

可得，

不妨設(shè)，令，則．

由，解得，，

∴．

欲證，只需證明，即證，

設(shè)，則．

設(shè)，則，∴單調(diào)遞增．

∴，即，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，即，原不等式得證．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過點的直線與拋物線交于不同的兩點，點，連接的直線與拋物線的另一交點分別為，如圖所示．

（Ⅰ）若，求直線的斜率；

（Ⅱ）試判斷直線的斜率是否為定值，如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔助圓”.過橢圓第四象限內(nèi)一點M作x軸的垂線交其“輔助圓”于點N，當(dāng)點N在點M的下方時，稱點N為點M的“下輔助點”.已知橢圓E：上的點的下輔助點為（1，﹣1）.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若△OMN的面積等于，求下輔助點N的坐標(biāo)；

（3）已知直線l：x﹣my﹣t＝0與橢圓E交于不同的A，B兩點，若橢圓E上存在點P，滿足，求直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)若是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_________；若存在實數(shù)，使函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線與橢圓有一個相同的焦點，過點且與軸不垂直的直線與拋物線交于，兩點，關(guān)于軸的對稱點為.

（1）求拋物線的方程；

（2）試問直線是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

支付金額

支付方式

不大于2000元

大于2000元

僅使用A

27人

3人

僅使用B

24人

1人

（Ⅰ）估計該校學(xué)生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（Ⅱ）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個月支付金額大于2000元的概率；

（Ⅲ）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C：(a＞b＞0)經(jīng)過點(﹣2,0)和,橢圓C上三點A,M,B與原點O構(gòu)成一個平行四邊形AMBO.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點B是橢圓C左頂點,求點M的坐標(biāo)；

（3）若A,M,B,O四點共圓,求直線AB的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的極值．

（2），若不等式在上恒成立，求的最大值．

（3）是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在上的值域為？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，給出以下四個命題：

①的圖象關(guān)于軸對稱；

②在上是減函數(shù)；

③是周期函數(shù)；

④在上恰有兩個零點.

其中真命題的序號是______.（請寫出所有真命題的序號）

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