Question

4．一兒童游樂場擬建造一個“蛋筒”型游樂設(shè)施，其軸截面如圖中實線所示．ABCD是等腰梯形，AB=20米，∠CBF=α（F在AB的延長線上，α為銳角）．圓E與AD，BC都相切，且其半徑長為100-80sinα米．EO是垂直于AB的一個立柱，則當(dāng)sinα的值設(shè)計為多少時，立柱EO最矮？

Answer 1

分析 以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由已知可求直線BC的方程為：xtanα-y-10tanα=0，設(shè)圓心E（0，t），（t＞0），由圓E與直線BC相切，可求EO=t=$\frac{100-90sinα}{cosα}$，令f（α）=$\frac{100-90sinα}{cosα}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），則f′（α）=$\frac{100（sinα-\frac{9}{10}）}{co{s}^{2}α}$，設(shè)sinα₀=$\frac{9}{10}$，α₀∈（0，$\frac{π}{2}$）．列表可求EO的最小值．

解答 （本題滿分為14分）
解：如圖所示，以AB所在直線為x軸，以線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

因為B（10，0），k_BC=tanα，所以直線BC的方程為：y=tanα（x-10），即xtanα-y-10tanα=0．…（4分）
設(shè)圓心E（0，t），（t＞0），由圓E與直線BC相切，得100-80sinα=$\frac{|-t-10tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=$\frac{t+10tanα}{\frac{1}{cosα}}$，
所以EO=t=$\frac{100-90sinα}{cosα}$，…（8分）
令f（α）=$\frac{100-90sinα}{cosα}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），則f′（α）=$\frac{100（sinα-\frac{9}{10}）}{co{s}^{2}α}$，…（10分）
設(shè)sinα₀=$\frac{9}{10}$，α₀∈（0，$\frac{π}{2}$）．列表如下：

α	（0，α0）	α0	（α0，$\frac{π}{2}$）
f′（α）	-	0	+
f（α）	減	極小值	增

所以當(dāng)α=α₀，即sin$α=\frac{9}{10}$時，f（α）取最小值．…（13分）
答：當(dāng)sin$α=\frac{9}{10}$時，立柱EO最矮．…（14分）

點評 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．